Движение жидкостей в природе, в том числе поток воды в наших океанах, образование торнадо в нашей атмосфере и потоки воздуха, окружающие самолеты, уже давно описываются и моделируются так называемыми уравнениями Навье-Стокса.
Тем не менее, математики не имеют полного понимания этих уравнений. Хотя они являются полезным инструментом для прогнозирования потоков жидкостей, мы все еще не знаем, точно ли они описывают жидкости во всех возможных сценариях. Это привело к тому, что Математический институт Клэя в Нью-Гэмпшире назвал уравнения Навье-Стокса одной из семи проблем тысячелетия: семи самых насущных нерешенных проблем во всей математике.
Проблема тысячелетия уравнения Навье-Стокса просит математиков доказать, всегда ли существуют «гладкие» решения для уравнений Навье-Стокса.
Проще говоря, гладкость относится к тому, ведут ли себя уравнения этого типа предсказуемым и осмысленным образом. Представьте себе симуляцию, в которой нога нажимает на педаль газа автомобиля, и автомобиль разгоняется до 10 миль в час (миль в час), затем до 20 миль в час, затем до 30 миль в час, а затем до 40 миль в час. Однако если нога нажимает на педаль газа и автомобиль разгоняется до 50 миль в час, затем до 60 миль в час, а затем мгновенно до бесконечного числа миль в час, вы бы сказали, что с симуляцией что-то не так.
Это то, что математики надеются определить для уравнений Навье-Стокса. Всегда ли они имитируют жидкости осмысленным образом или бывают ситуации, когда они ломаются?
В статье, опубликованной на сервере препринтов arXiv , Томас Хоу из Калифорнийского технологического института, профессор прикладной и вычислительной математики Чарльза Ли Пауэлла, и Цзяцзе Чен (доктор философии, 22 года) из Института Куранта Нью-Йоркского университета представили доказательство, которое разрешает давнюю открытая проблема для так называемой трехмерной особенности Эйлера.
Трехмерное уравнение Эйлера представляет собой упрощение уравнений Навье–Стокса, а сингулярность — это точка, в которой уравнение начинает разрушаться или «взорваться», то есть оно может внезапно стать хаотичным без предупреждения (как смоделированный автомобиль, разгоняющийся до бесконечности). количество миль в час). Доказательство основано на сценарии, впервые предложенном Хоу и его бывшим постдоком Го Луо в 2014 году.
Вычисления Хоу с Луо в 2014 году обнаружили новый сценарий, который показал первое убедительное численное свидетельство трехмерного увеличения Эйлера, тогда как предыдущие попытки обнаружить трехмерное увеличение Эйлера были либо безрезультатными, либо невоспроизводимыми.
В последней статье Хоу и Чен представили окончательное и неопровержимое доказательство работы Хоу и Луо, связанной с разрушением трехмерного уравнения Эйлера. «Это начинается с чего-то, что ведет себя хорошо, но затем каким-то образом развивается и становится катастрофическим», — говорит Хоу.
«Первые десять лет своей работы я верил, что никакого эйлерова взрыва не существует, — говорит Хоу. После более чем десятилетия исследований Хоу не только доказал, что был не прав, но и разгадал многовековую математическую загадку.
«Этот прорыв является свидетельством упорства доктора Хоу в решении проблемы Эйлера и создании интеллектуальной среды, которую создает Калифорнийский технологический институт», — говорит Гарри А. Этуотер, руководитель отдела Отиса Бута отдела инженерии и прикладных наук, профессор прикладной физики Говарда Хьюза. и материаловедение, а также директор Liquid Sunlight Alliance. «Калифорнийский технологический институт дает исследователям возможность прилагать постоянные творческие усилия для решения сложных проблем — даже в течение десятилетий — для достижения выдающихся результатов».
Совместные усилия Хоу и его коллег по доказательству существования взрыва с помощью трехмерного уравнения Эйлера сами по себе являются крупным прорывом, но также представляют собой огромный шаг вперед в решении проблемы тысячелетия Навье-Стокса. Если бы уравнения Навье-Стокса тоже не сработали, это означало бы, что что-то не так с одним из самых фундаментальных уравнений, используемых для описания природы.
«Вся структура, которую мы создали для этого анализа, была бы чрезвычайно полезна для Навье-Стокса», — говорит Хоу. «Недавно я определил многообещающего кандидата на увеличение для Навье-Стокса. Нам просто нужно найти правильную формулировку, чтобы доказать увеличение Навье-Стокса».
