Математики из Нью-Йоркского университета и Университета Британской Колумбии решили геометрическую задачу, которая решалась десятилетиями, — гипотезу Какея в трехмерном пространстве, изучающую форму, оставляемую иглой, движущейся в нескольких направлениях.
Исследование опубликовано на сервере препринтов arXiv.
Гипотеза Какея была вдохновлена задачей, поставленной в 1917 году японским математиком Соити Какея: какова область наименьшей возможной площади, в которой можно повернуть иглу на 180 градусов в плоскости? Такие области называются множествами игл Какея.
Хонг Ван, доцент Института математических наук Куранта Нью-Йоркского университета, и Джошуа Заль, доцент кафедры математики UBC, показали, что множества Какея, которые тесно связаны с множествами игл Какея, не могут быть «слишком маленькими», а именно, хотя эти множества могут иметь нулевой трехмерный объем, они тем не менее должны быть трехмерными.
«В геометрической теории меры наблюдается впечатляющий прогресс: Хун Ван и Джошуа Заль только что опубликовали препринт, в котором решается трехмерный случай печально известной гипотезы о множестве Какея», — написал профессор математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе Теренс Тао, ставший в 2006 году лауреатом Филдсовской премии, которая вручается каждые четыре года математику в возрасте до 40 лет.
«Это одно из величайших математических достижений XXI века», — говорит Эяль Любецки, заведующий кафедрой математики Института Куранта.
«Это замечательная часть математики», — добавляет профессор Института Куранта Гвидо Де Филиппис. «Последняя работа следует за годами прогресса, который расширил наше понимание сложной геометрии и вывел ее на новый уровень. Я ожидаю, что их идеи приведут к серии захватывающих прорывов в ближайшие годы».
«Это проблема, над которой работали многие величайшие математики мира, и на то есть веская причина: помимо того, что она привлекательна тем, что ее относительно просто сформулировать и в то же время она чрезвычайно глубока, она связана со многими другими важными проблемами гармонического анализа и геометрической теории меры», — говорит Пабло Шмеркин, профессор математики в UBC.
«Основываясь на последних достижениях в этой области, это решение сочетает в себе множество новых идей с замечательным техническим мастерством. Например, авторам удалось найти утверждение о пересечениях труб, которое является более общим, чем гипотеза Какея, и с которым легче справиться с помощью мощного подхода, известного как индукция по шкалам».
Доказательство гипотезы Какея требует тонкого понимания структуры взаимодействия трубок в евклидовом — трехмерном — пространстве.
«Этот результат не только является крупным прорывом в геометрической теории меры, но и открывает ряд захватывающих разработок в гармоническом анализе, теории чисел и приложениях в компьютерной науке и криптографии», — добавляет Де Филиппис.
«Действительно, в нескольких задачах в этих областях соответствующая информация может быть разложена на волновые пакеты — области пространства, где находятся электромагнитные или другие типы волн, — которые в значительной степени сконцентрированы на «крошечных трубках». Понимание пересечения этих трубок имеет основополагающее значение для понимания того, как эти пакеты информации взаимодействуют друг с другом».
